Misalkan a1, a2, a3, ⋯ adalah barisan aritmetika naik dengan suku-suku berupa bilangan bulat positif. Jika a3=19, maka nilai maksimum dari a_(a_1)+a_(a_2)+a_(a_3)+a_(a_4)+a_(a

Bahas Soal Matematika » ›

Misalkan $a_1, a_2, a_3, \cdots$ adalah barisan aritmatika naik dengan suku-suku berupa bilangan bulat positif. Jika $a_3 = 19$ , maka nilai maksimum dari $a_{a_1}+a_{a_2}+a_{a_3}+a_{a_4}+a_{a_5}$ adalah…

Pembahasan:

Diketahui $\{a_n\}$ merupakan barisan aritmatika. Anggap $a$ dan $b$ berturut-turut adalah suku pertama dan beda antar suku yang berdekatan sehingga berlaku $a_n = a+(n-1)b$ dan untuk $a_3 = 19$ maka $a_3 = a+2b=19$ sehingga:

\begin{matrix} a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} & = a + (a + b) + (a + 2 b) + (a + 3 b) + (a + 4 b) = 5 a + 10 b = 5 (a + 2 b) = 5 \times 19 = 95 \end{matrix}

$\begin{aligned} a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 &= a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+(a+4b) \\[8pt] &= 5a+10b = 5(a+2b) \\[8pt] &= 5 \times 19 = 95 \end{aligned}$

Perhatikan bahwa

\begin{matrix} a_{a_{1}} & = a + (a_{1} - 1) b a_{a_{2}} & = a + (a_{2} - 1) b a_{a_{3}} & = a + (a_{3} - 1) b a_{a_{4}} & = a + (a_{4} - 1) b a_{a_{5}} & = a + (a_{5} - 1) b \end{matrix}

$\begin{aligned} a_{a_1} &= a+(a_1-1)b \\[8pt] a_{a_2} &= a+(a_2-1)b \\[8pt] a_{a_3} &= a+(a_3-1)b \\[8pt] a_{a_4} &= a+(a_4-1)b \\[8pt] a_{a_5} &= a+(a_5-1)b \end{aligned}$

Jumlahkan kelima persamaan di atas.

\begin{matrix} \Leftrightarrow a_{a_{1}} + a_{a_{2}} + a_{a_{3}} + a_{a_{4}} + a_{a_{5}} \Leftrightarrow 5 a + (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}) b - 5 b \Leftrightarrow 5 a + 95 b - 5 b = 5 a + 90 b \Leftrightarrow 5 (a + 18 b) = 5 ((a + 2 b) + 16 b) \Leftrightarrow 5 (19 + 16 b) \end{matrix}

$\begin{aligned} &\Leftrightarrow a_{a_1}+a_{a_2}+a_{a_3}+a_{a_4}+a_{a_5} \\[8pt] &\Leftrightarrow 5a+(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)b -5b \\[8pt] &\Leftrightarrow 5a+95b-5b = 5a+90b \\[8pt] &\Leftrightarrow 5(a+18b) = 5((a+2b)+16b) \\[8pt] &\Leftrightarrow 5(19+16b) \end{aligned}$

Bentuk terakhir menunjukkan bahwa akan bernilai maksimum jika $b$ dibuat maksimum. Karena barisan aritmatika tersebut terdiri dari suku-suku dengan bilangan bulat positif dan $a+2b=19$ , maka ambil nilai $a$ terendah yang mungkin, yakni $a=1$ sehingga mengakibatkan $b=9$ . Dengan demikian, nilai maksimum jumlah lima suku barisan tersebut adalah $(5(19+16(9)) = 815$ .

Jawaban D.

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika » ›

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Cari artikel...

Bahas Soal Matematika » ›