Misalkan a1, a2, a3, ⋯ adalah barisan aritmetika naik dengan suku-suku berupa bilangan bulat positif. Jika a3=19, maka nilai maksimum dari a_(a_1)+a_(a_2)+a_(a_3)+a_(a_4)+a_(a_5) adalah…

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »     ›  

Misalkan \( a_1, a_2, a_3, \cdots \) adalah barisan aritmatika naik dengan suku-suku berupa bilangan bulat positif. Jika \(a_3 = 19\), maka nilai maksimum dari \( a_{a_1}+a_{a_2}+a_{a_3}+a_{a_4}+a_{a_5} \) adalah…

  1. 513
  2. 692
  3. 737
  4. 815
  5. 900

Pembahasan:

Diketahui \(\{a_n\} \) merupakan barisan aritmatika. Anggap \(a\) dan \(b\) berturut-turut adalah suku pertama dan beda antar suku yang berdekatan sehingga berlaku \(a_n = a+(n-1)b\) dan untuk \( a_3 = 19 \) maka \( a_3 = a+2b=19 \) sehingga:

\begin{aligned} a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 &= a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+(a+4b) \\[8pt] &= 5a+10b = 5(a+2b) \\[8pt] &= 5 \times 19 = 95 \end{aligned}

Perhatikan bahwa

\begin{aligned} a_{a_1} &= a+(a_1-1)b \\[8pt] a_{a_2} &= a+(a_2-1)b \\[8pt] a_{a_3} &= a+(a_3-1)b \\[8pt] a_{a_4} &= a+(a_4-1)b \\[8pt] a_{a_5} &= a+(a_5-1)b \end{aligned}

Jumlahkan kelima persamaan di atas.

\begin{aligned} &\Leftrightarrow a_{a_1}+a_{a_2}+a_{a_3}+a_{a_4}+a_{a_5} \\[8pt] &\Leftrightarrow 5a+(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)b -5b \\[8pt] &\Leftrightarrow 5a+95b-5b = 5a+90b \\[8pt] &\Leftrightarrow 5(a+18b) = 5((a+2b)+16b) \\[8pt] &\Leftrightarrow 5(19+16b) \end{aligned}

Bentuk terakhir menunjukkan bahwa \(\) akan bernilai maksimum jika \(b\) dibuat maksimum. Karena barisan aritmatika tersebut terdiri dari suku-suku dengan bilangan bulat positif dan \(a+2b=19\), maka ambil nilai \(a\) terendah yang mungkin, yakni \(a=1\) sehingga mengakibatkan \(b=9\). Dengan demikian, nilai maksimum jumlah lima suku barisan tersebut adalah \( (5(19+16(9)) = 815 \).

Jawaban D.